Miniatury matematyczne 54

Stało się już tradycją, że rokrocznie Komitet Organizacyjny Międzynarodowego Konkursu Kangur Matematyczny wydaje broszurki popularnonaukowe przeznaczone dla uczniów wszystkich rodzajów szkół. Książki te służą popularyzacji matematyki wśród młodzieży i mogą być pomocą w pracach szkolnych kół matematycznych. Książka niniejsza przeznaczona jest dla uczniów gimnazjów.

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceów złożyły się cztery artykuły. Pobieżne przewertowanie książeczki może sprawić wrażenie, że zbiór został zdominowany przez geometrię: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trójkąty, słowo geometria pojawia się aż dwukrotnie w tytule drugiej. Tytuł ostatniej miniatury może nie kojarzyć się z geometrią, ale wystarczy przerzucić kartki, aby zobaczyć wykresy podobne do tych, jakie pojawiają się na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrażenie jest złudne. W rzeczywistości materiał zawarty w miniaturach okazuje się być bliższy arytmetyce niż geometrii. Miniatura pierwsza jest połączeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trójek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorąc, szukamy wszyst...

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs ?Kangur Matematyczny" zyskuje z roku na rok coraz większą popularność. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę, dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca. Mamy nadzieję, że tę rolę spełnia seria książeczek ?Miniatury matematyczne", której ósmy tomik przekazujemy w Wasze ręce.

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs „Kangur Matematyczny” zyskuje z roku na rok coraz większą popularność. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę, dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca. Mamy nadzieję, że tę rolę spełnia seria książeczek „Miniatury matematyczne”, której osiemnasty tomik przekazujemy w Wasze ręce.

W prezentowanej miniaturze kontynuujemy opis metod rozumowania matematycznego związanych z naturalnym logicznym myśleniem, co często nazywane jest zdrowym rozsądkiem.

Miniatura skierowana do uczniów szkół podstawowych. "Takie pojęcia, jak zabawa czy gra na ogół kojarzone są ze zwykłą rozrywką. Fakt, że u podstaw każdej gry czy zabawy leży umowa, która polega na ustaleniu pewnych reguł, skłonił wielu nauczycieli i ludzi zajmujących się procesem kształcenia do wykorzystania ich w nauczaniu matematyki. Oczywiście gry czy zabawy wykorzystane do tego celu powinny być jedynie środkiem wspierającym i uatrakcyjniającym proces uczenia. Cel na tej drodze jest łatwy do osiągnięcia, ponieważ każda gra czy zabawa wywołuje naturalną, szczególnie u młodszych uczniów, chęć wygrania. Po każdym okresie prób pojawia się naturalne pytanie, jak najskuteczniej grać, aby osiągnąć sukces. Po kilku dość chaotycznych posunięciach, k...

Książeczkę, którą oddajemy do rąk Czytelnika, można by zatytułować „O różnych obliczach geometrii”. Miniatura pierwsza traktuje o zastosowaniu nierówności między średnimi do znajdowania obiektów geometrycznych pod pewnym względem optymalnych. Typową metodą atakowania tego typu zadań jest rachunek różniczkowy. Autorzy pokazują liczne przykłady, gdy zadania takie można skutecznie i elegancko rozwiązać, wykorzystując nierówności znane już pitagorejczykom. W miniaturze drugiej przedstawiono pewne zagadnienia związane ze wzajemnym położeniem prostych i punktów na płaszczyźnie. Pytania są na tyle elementarne, że z powodzeniem mogłyby być rozważane przez Euklidesa. Aż dziw, że zostały zadane całkiem niedawno i wiele z nich do tej pory nie znalazł...

Jak Diofantos rozwiązywał zadania arytmetyczne? Wokół dzielenia przez 9 i 11 Warunki równoważne pomiędzy kątami i bokami trójkątów

By trwała nasza cywilizacja, by się rozwijała, potrzebni są ludzie dysponujący wiedzą matematyczną. Ludzie, którzy nie tylko matematykę znają i rozumieją, ale również potrafiący przekazać swoją wiedzę innym, by wiedza ta, tak potrzebna nie zaginęła. Potrzebni są ludzie, którzy będą potrafili logicznie myśleć i właściwie oceniać znaczenie wiedzy. Mówiąc prosto, potrzebny jesteś Ty, Czytelniku. Jesteś młody, umiesz myśleć, masz predyspozycję do nauk ścisłych. I dla ciebie właśnie jest ta książka. Autorzy życzą Ci miłej i interesującej lektury i wyrażają nadzieję, że jeszcze wiele razy zechcesz sięgnąć po tę pozycję.

Miniatura skierowana do uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

Miniatura skierowana do uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

Cel jaki postawili sobie autorzy tego opracowania to po pierwsze przedstawienie bohaterów - wielkich postaci świata matematyki. Krótkie notki biograficzne wskazują jedynie te dokonania tych twórców, które mogą być zrozumiałe uczniowi. Zamieściliśmy również sylwetki nieżyjących już matematyków toruńskich, w szczególności opisaliśmy barwną sylwetkę znakomitego popularyzatora matematyki Leona Jeśmanowicza. Podróż przez bogatą historią matematyki rozpoczynamy od przedstawienia greckich matematyków do czasów współczesnych działających naukowców. Jest rzeczą zrozumiałą, że dokonany przez nas wybór postaci jest obarczony dużą dawką subiektywizmu. Nie mogło być inaczej, Omówienie abstrakcyjnych wyników współcześnie działających naukowców z pewn...

W tej miniaturce, związanej z konkursem „Kangur Matematyczny”, zawarte są różnorodne zadania, nawiązujące swoją tematyką do kompetencji posiadanych przez uczniów starszych klas szkoły podstawowej. Głównym jej celem jest przybliżenie pojęcia kodowania i szyfrowania. W tym celu staramy się przypomnieć szkolne i konkursowe zadania kojarzące się z kodowaniem i szyfrowaniem. W zasadzie prawie wszystkie zadania dotyczą liczb naturalnych. Treści tych zadań i ich sformułowania odbiegają jednak od szkolnych stereotypów. Umiejętności zdobyte przez ucznia przy rozwiązywaniu tych zadań doskonalą i utrwalają wiedzę zdobytą w tradycyjny sposób. Rozdziały I, II i V są wypełnione atrakcyjnymi zadaniami wprowadzającymi do świata kryptarytmów i algebrafów. Tematyk...

W kolejnej miniaturze powracamy do rozważań związanych z polem figury. Nie będziemy badali wzorów na pola poszczególnych wielokątów. Problem ten jest trudny, między innymi ze względu na wczesny etap matematycznej nauki. Z tego powodu zajmiemy się porównywaniem pól wielokątów. Oczywiście nie będziemy zajmować się pogłębioną analizą samego pojęcia pola. Potraktujemy je w naturalnym i nieco intuicyjnym rozumieniu, tak jak to czyni się w trakcie początkowej nauki szkolnej matematyki. Zajmiemy się szczególnie polem wielokąta, głównie problemami wynikającymi ze słynnego twierdzenia Farkasa Bolyaia i Paula Gerwiena, które odkryli niezależnie w roku 1833. Jeżeli dwa wielokąty mają równe pola, to zawsze można jeden w nich podzielić na skończoną liczbę tak...

Miniaturkę tę dedykujemy uczniom szkół podstawowych. Podstawową tematyką tego opracowania jest droga jako obiekt matematyczny rozważany w różnych ujęciach. Inspiracją do zajęcia się tą tematyką były często spotykane zadania i problemy w konkursach matematycznych, w różnego rodzaju łamigłówkach czy też zadaniach logicznych. Szczególnie dużo zadań można spotkać w znanym w świecie konkursie Kangur Matematyczny i to zadań na różnym poziomie trudności. W prezentowanym opracowaniu zamieszczamy wiele dosłownych zadań z tego konkursu lub niedużych modyfikacji takich zadań.W opracowaniu zamieściliśmy wiele nieszablonowych ćwiczeń o różnym stopniu trudności. Cechą charakterystyczną tych ćwiczeń jest to, że do ichrozwiązania wystarcza niewielki zasób...

Mała sześcienna kostka z wyrytymi na ściankach oczkami na ogół jest kojarzona z grami planszowymi. Niniejsze opracowanie wskazuje inną możliwość jej wykorzystania. Podajemy w nim szereg problemów, które dotyczą pojęć związanych z arytmetyką i z kształtowaniem cech potrzebnych nie tylko w matematyce. Większość tych problemów wzorowanych jest na propozycjach zadań konkursowych nadsyłanych przez kraje uczestniczące w konkursie Kangur Matematyczny. Ta sytuacja świadczy o powszechności stosowania tej pomocy naukowej na lekcjach matematyki. Oprócz problemów związanych z tak zwaną kostką standardową podajemy wiele problemów z wykorzystaniem kostki niestandardowej (pojęcia te objaśniamy wewnątrz opracowania). Druga część opracowania wiąże się z ważniejsz�...

Niniejsza miniaturka jest kolejnym opracowaniem, które jest przeznaczone dla uczniów szkoły podstawowej. Zawartość tej książeczki stanowią nietypowe zagadnienia związane z pojęciem liczby naturalnej. Naszym zdaniem zagadnienia te mogą uzupełnić i uatrakcyjnić proces uczenia się i nauczania. Cała miniaturka składa się z trzech rozdziałów. Pierwszy rozdział dotyczy szukania prostych zależności i nazwaliśmy go Układanki, drugi związany jest z kolorowaniem i nazwaliśmy go Malowanki, zaś trzeci nosi nazwę Diagramy i proponujemy w nim wypełnianie diagramów zgodnie z pewnymi regułami. Rozdziały te są zróżnicowane pod względem tworzywa, ale głównym ich spoiwem są liczby naturalne. Każda część poprzedzona jest wstępem. Uważamy, że te nietypowe zagadnie...

Książeczkę, którą oddajemy do rąk Czytelnika, można by zatytułować „O różnych obliczach geometrii”. Miniatura pierwsza traktuje o zastosowaniu nierówności między średnimi do znajdowania obiektów geometrycznych pod pewnym względem optymalnych. Typową metodą atakowania tego typu zadań jest rachunek różniczkowy. Autorzy pokazują liczne przykłady, gdy zadania takie można skutecznie i elegancko rozwiązać, wykorzystując nierówności znane już pitagorejczykom. W miniaturze drugiej przedstawiono pewne zagadnienia związane ze wzajemnym położeniem prostych i punktów na płaszczyźnie. Pytania są na tyle elementarne, że z powodzeniem mogłyby być rozważane przez Euklidesa. Aż dziw, że zostały zadane całkiem niedawno i wiele z nich do tej pory nie znalazł...

Proponowany przez nas zbiór ćwiczeń, zadań, łamigłówek skoncentrowany jest wokół czterech zagadnień: tangramów i nieszablonowych zadań dotyczących logiki, "wędrówek" oraz ważenia. Zadania te pochodzą z różnorodnych opracowań i stanowią doskonalą materię do ćwiczenia logicznego myślenia. Nieszablonowość myślenia w tego rodzaju zadaniach pojawia się w metodzie rozwiązania, która nie jest oparta na żadnym sformalizowanym algorytmie. Rozwijanie tego typu myślenia jest szczególnie cenne i przydaje się w osiąganiu sukcesów w rozwiązywaniu trudnych problemów na konkursach i olimpiadach matematycznych. Jednocześnie pragniemy by przez rozwiązywanie proponowanych przez nas zadań stworzyć możliwość, aby każdy uczeń mógł rozwijać naturalne uzdolnienia...

Pojęcie kąta jest jednym z ważniejszych pojęć geometrycznych. Rodzaje kątów, działanie na kątach, mierzenie kątów, czy definiowanie funkcji trygonometrycznych to podstawowe sprawności przy badaniu wielu figur geometrycznych. Dobre opanowanie podstawowych informacji o kątach między elementami figur geometrycznych ułatwiają różnorodne ćwiczenia. Niniejsza miniatura poprzez dobór tego rodzaju ćwiczeń stwarza taką możliwość. Większość problemów opracowania dotyczy kątów między elementami linowymi trójkąta. Te ćwiczenia zawarte są głównie w rozdziałach 1 oraz 2. Rozdział 3 zawiera zadania o kątach między elementami liniowymi wielokąta. Ostatni, czwarty rozdział, jest przeznaczony dla uczniów szczególnie zainteresowanych matematyką. Jednakże marze...